LaTeX 示例

行内公式

行内公式使用单个美元符号，例如：。

独立公式

独立公式使用双美元符号，例如：

矩阵

LaTeX也支持矩阵：

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测试

发布后是否显示出latex

可以显示

$与$

假设我们有一个矩阵和一个向量，它们的乘积可以表示为：

其中，是一个的矩阵，是一个的向量，是一个的结果向量。

具体计算过程如下：

欧拉公式

欧拉公式是数学中的一项重要公式，表示了复数、指数和三角函数之间的关系。它的表达式如下：

这个公式展示了虚数单位、自然对数的底、余弦函数和正弦函数之间的美妙关系。欧拉公式在数学、物理和工程等领域广泛应用，是一种极具深刻意义的数学表达式。

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非线性系统

常见分布

正态分布

正态分布（高斯分布）是自然界中许多现象的分布，其概率密度函数（PDF）表示为：

其中，是均值，是标准差。

泊松分布

泊松分布用于描述单位时间或空间内某事件发生次数的概率分布，其概率质量函数（PMF）为：

其中，是事件发生的平均次数。

二项分布

二项分布适用于只有两种结果的离散随机变量，其概率质量函数为：

其中，是试验次数，是成功的次数，是成功的概率。

指数分布

指数分布描述等待时间或间隔时间的概率分布，其概率密度函数为：

其中，是速率参数。

卡方分布

卡方分布通常用于统计推断中，其概率密度函数为：

其中，是自由度，是伽马函数。

t-分布

t-分布常用于小样本统计推断，其概率密度函数为：

其中，是自由度。

大数定理

大数定理是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量的均值在样本数量趋于无穷大时稳定地收敛到其期望值的现象。

切比雪夫大数定理

设是独立同分布的随机变量序列，具有期望值和方差。定义样本均值为，那么对于任意正数，切比雪夫不等式给出：

大数定理的主要思想是，随着样本数量的增大，样本均值以概率 1 收敛到期望值。即：

这说明在大样本的情况下，样本均值趋于稳定，逼近真实的期望值。

证明

利用切比雪夫不等式：

当趋于无穷大时，右侧趋于零，证明完成。

这证明了大数定理的一个形式。注意，大数定理有多种形式和变体，取决于随机变量序列的性质和收敛的方式。这只是其中一种简单的表达方式。

复杂的 LaTeX 示例

矩阵方程

考虑一个矩阵方程：

其中，(A) 是一个 (m n) 的矩阵，() 和 () 是列向量。

多重积分

下面是一个二重积分的例子：

其中，(D) 是积分区域，(f(x, y)) 是被积函数，(dA) 是微元面积。

级数求和

考虑一个无穷级数：

这是著名的巴塞尔问题中的一个例子，其和是。

微分方程

以下是一个一阶线性常微分方程的例子：

复杂的矩阵

一个更复杂的矩阵示例，包括一个分块矩阵：

这是一个 (2m 2n) 的分块矩阵。

多行公式

一个多行的方程组：

这是一个线性方程组。

复杂积分

一个复杂的积分公式，包括一个带有下限和上限的三重积分：

其中，(V) 是积分的区域，(f(x, y, z)) 是被积函数，(dV) 是微元体积。

二项式定理的证明

定理： 对于任意实数和，以及任意非负整数，二项式定理给出：

证明

基础情形 :

归纳假设: 假设对于某个非负整数，定理对成立，即：

归纳步骤: 考虑时的情况。我们有： $根据归纳假设展开根据二项式系数的性质$

所以，根据数学归纳法，二项式定理对所有非负整数成立。

测试不同颜色

测试嵌入代码

#include <iostream>
#include <vector>

// 快速排序算法
template <typename T>
int partition(std::vector<T>& arr, int low, int high) {
    T pivot = arr[high];
    int i = low - 1;

    for (int j = low; j < high; j++) {
        if (arr[j] < pivot) {
            i++;
            std::swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }

    std::swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}

template <typename T>
void quickSort(std::vector<T>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pivotIndex = partition(arr, low, high);

        quickSort(arr, low, pivotIndex - 1);
        quickSort(arr, pivotIndex + 1, high);
    }
}

int main() {
    std::vector<int> arr = {12, 7, 11, 8, 5, 2, 6, 9};
    
    std::cout << "Original array: ";
    for (int num : arr) {
        std::cout << num << " ";
    }
    
    int arrSize = arr.size();
    quickSort(arr, 0, arrSize - 1);

    std::cout << "\nSorted array: ";
    for (int num : arr) {
        std::cout << num << " ";
    }

    return 0;
}